Tugas BAB 6 Distribusi

BAB VI

Distribusi Normal, t dan F

Distribusi normal adalah distribusi dari variabel acak kontinu.  Kadang-kadang distribusi normal disebut juga dengan distribusi Gauss.  Distribusi ini merupakan distribusi yang paling penting dan paling banyak digunakan di  bidang statistika.

Fungsi densitas distribusi normal diperoleh dengan persamaan sebagai berikut:

dimana
π = 3,1416
e = 2,7183
µ = rata-rata
σ = simpangan baku
Persamaan di atas bila dihitung dan diplot pada grafik akan terlihat seperti pada Gambar 1 berikut:

  

Gambar 1. kurva distribusi normal umum

Sifat-sifat penting distribusi normal adalah sebagai berikut:

1. Grafiknya selalu berada di atas sumbu x

2. Bentuknya simetris pada x = µ

3. Mempunyai satu buah modus, yaitu pada x = µ

4. Luas grafiknya sama dengan satu unit persegi, dengan rincian

a. Kira-kira 68% luasnya berada di antara daerah µ – σ dan µ + σ

b. Kira-kira 95% luasnya berada di antara daerah µ – 2σ dan µ + 2σ

c. Kira-kira 99% luasnya berada di antara daerah µ – 3σ dan µ + 3σ

Membuat kurva normal umum bukanlah suatu pekerjaan yang mudah.  Lihat saja rumus untuk mencari fungsi densitasnya (nilai pada sumbu Y) begitu rumit.  Oleh karena itu, orang tidak banyak menggunakannya.

Orang lebih banyak menggunakan DISTIBUSI NORMAL BAKU.  Kurva distribusi normal baku diperoleh dari distribusi normal umum dengan cara transformasi nilai x menjadi nilai z, dengan formula sbb:

Kurva distribusi normal baku disajikan pada Gambar 2 berikut ini.

Gambar 2.  Kurva distribusi normal baku

Kurva distribusi normal baku lebih sederhana dibanding kurva normal umum.  Pada kurva distribusi normal baku, nilai µ = 0 dan nilai σ=1, sehingga terlihat lebih menyenangkan.  Namun, sifat-sifatnya persis sama dengan sifat-sifat distribusi normal umum.

Untuk keperluan praktis, para ahli statistika telah menyusun Tabel distribusi normal baku dan tabel tersebut dapat ditemukan hampir di semua buku teks Statistika.  Tabel distribusi normal bakui disebut juga dengan Tabel Z dan dapat digunakan untuk mencari peluang di bawah kurva normal secara umum, asal saja nilai µ dan σ diketahui. Sebagai catatan nilai µ dan σ dapat diganti masing-masing dengan nilai  dan S.

 Distribusi t

Distribusi t merupakan salah satu pengembangan dari Distribusi z. Secara prinsip penggunaan Distribusi t digunakan untuk membandingkan rata-rata dari dua sampel. Rata-rata dua sampel tersebut dibandingkan untuk mengetahui apakah dua data tersebut mempunyai beda. Distribusi biasanya digunakan untuk data yang banyak sampelnya kurang dari sama dengan 30.

t di definisikan sebagai berikut:

Dari definisi nilai t di atas, ada beberapa nilai yang perlu kita ketahui:

sehingga inputan data di atas sebaiknya anda tahu.

Contoh ada nilai siswa sebagai berikut:

Nilai
66
40
75
64
65
71
66
81
65
50

Apakah nilai data tersebut rata-ratanya sama dengan data yang lain yang rata-ratanya 60?
Dari data di atas diperoleh nilai sebagai berikut:

Misalkan taraf signifikansinya 0.05, nilai derajat kebebasan data tersebut dk = 10 - 1 = 9. Dari tabel distribusi t didapatkan :

Sedangkan nilai t hitung bisa diperoleh dari :

Dari nilai tersebut diperoleh

Kesimpulannya data diatas tidak berbeda signifikan dengan data yang rata-rata populasinya 60.

Distribusi F (ANOVA)

            ANOVA kepanjangan dari Analysis of Variance. Distribusi yang ditemukan oleh seorang ahli statistika bernama R.A Fisher pada tahun 1920. Distribusi F (ANOVA) adalah prosedur statistika untuk menghitung apakah rata-rata hitung drai 3 populasi atau lebih sama atau tidak. Distribusi ini digunakan untuk menguji rata-rata dari tiga atau lebih populasi sekaligus untuk menentukan apakah rata-rata itu sama atau tidak.

            Distribusi F (ANOVA) terbagi menjadi 2 klasifikasi:

1. Klasifikasi satu arah

Klasifikasi satu arah adalah sebuah klasifikasi pengmatan yang hanya didasarkan pada satu kriteria.

     2.  Klasifikasi dua arah 

Klasifikasi dua arah adalah suatu pengamatan yang didasarkan pada dua kriteria seperti varietas dan jenis pupuk.suatu pengamatan dapat diklasifikasikan menurut dua criteria dengan menyusun data tersebut menjadi baris dan kolom, kolom menyatakan kriterika klasifikasi yang satu sedangkan baris menyatakan criteria klasifikasi yang lainnya.

Tugas BAB 5 Moment, Kemiringan, dan Kurtosis

 BAB V

Moment, Kemiringan dan Kurtosis

Skewness and Kurtosis

Rata-rata dan ukuran penyebaran dapat menggambarkan distribusi data tetapi tidak cukup untuk menggambarkan sifat distribusi. Untuk dapat menggambarkan karakteristik dari suatu distribusi data, kita menggunakan konsep-konsep lain yang dikenal sebagai kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis).

Skewness

Kemiringan (skewness) berarti ketidaksimetrisan. Sebuah distribusi dikatakan simetris apabila nilai-nilainya tersebar merata disekitar nilai rata-ratanya. Sebagai contoh, distribusi data berikut simetris terhadap nilai rata-ratanya, 3.

x	1	2	3	4	5
frek (f)	5	9	12	9	5

Pada contoh gambar berikut, distribusi data tidak simetris. Gambar pertama miring (menjulur) ke arah kiri dan gambar ke-2 miring ke arah kanan.

Pada distribusi data yang simetris, mean, median dan modus bernilai sama.

Beberapa langkah-langkah perhitungan digunakan untuk menyatakan arah dan tingkat kemiringan dari sebaran data. Langkah-langkah tersebut diperkenalkan oleh Pearson.

Koefisien kemiringan(Coefficient of Skewness):

Interpretasi: Untuk distribusi data yang simetris, Sk = 0. Apabila distribusi data menjulur ke kiri (negatively skewed), Sk bernilai negatif, dan apabila menjulur ke kanan(positively skewed), SK bernilai positif. Kisaran untuk SK antara -3 dan 3.

Ukuran kemiringan yang lain adalah koefisien β₁ (baca 'beta-satu'):

dimana:

Interpretasi:

Distribusi dikatakan simetris apabila nilai b₁ = 0. Skewness positif atau negatif tergantung pada nilai b₁ apakah bernilai positif atau negatif.

Ukuran Skewness yang sering digunakan:

Skewness Populasi:

Skewness Sampel:

Source: D. N. Joanes and C. A. Gill. "Comparing Measures of Sample Skewness and Kurtosis". The Statistician 47(1):183–189.

atau formula berikut (MS Excel):

s = standar deviasi

NB: kedua formula di atas menghasilkan nilai skewness yang sama

Interpretasi:

Distribusi dikatakan simetris apabila nilai g₁ = 0. Skewness positif atau negatif tergantung pada nilai g₁ apakah bernilai positif atau negatif.

Menurut Bulmer, M. G., Principles of Statistics (Dover, 1979):

·         highly skewed: jika skewness kurang dari −1 atau lebih dari +1

·         moderately skewed: jika skewness antara −1 dan −½ atau antara +½ dan +1.

·         approximately symmetric: jika skewness is berada di antara −½ dan +½.

Kurtosis

Kurtosis merupakan ukuran untuk mengukur keruncingan distribusi data.

Distribusi pada gambar di atas semuanya simetris terhadap nilai rata-ratanya. Namun bentuk ketiganya tidak sama. Kurva berwarna biru dikenal sebagai mesokurtik (kurva normal), kurva berwarna merah dikenal sebagai leptokurtik (kurva runcing) dan kurva berwarna hijau dikenal sebagai platikurtik (kurva datar).

Kurtosis dihitung dengan menggunakan koefisien Pearson, β₂ (baca 'beta - dua').

dimana:

Ukuran Kurtosis yang sering digunakan:

Kurtosis Populasi:

Kurtosis:

Excess Kurtosis: 

Kurtosis Sampel:

atau formula berikut (MS Excel):

s = standar deviasi

NB: Excel menggunakan nilai Excess Kurtosis. Hasil perhitungan dari kedua formula di atas, menghasilkan nilai yang sama

Interpretasi:

Distribusi dikatakan:

·         Mesokurtik (Normal) jika b₂ = 3

·         Leptokurtik jika b₂ > 3

·         platikurtik jika b₂ < 3

Analisis Korelasi Product Moment dalam Statistika

Analisis korelasi merupakan salah satu teknik statistik yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua variabel atau lebih yang bersifat kuantitatif. Salah satu dari analisis korelasi tersebut adalah analisis korelasi product moment (Pearson). Variabel yang digunakan disini terbagi dua yaitu variabel bebas (x) dengan variabel terikat (y), dengan ketentuan data memiliki syarat-syarat tertentu.

Korelasi Pearson Product Moment (r) dapat diformulasikan sbb:



dengan ketentuan −1 ≤ r ≤ r . Dan interpretasi koefisien korelasi nilai r ini dapat dirangkum dalam tabel berikut:

Langkah-langkah yang diperlukan untuk uji korelasi Pearson Product Moment adalah sebagai berikut :

1. Rumuskan hipotesis Ha dan Ho dalam bentuk kalimat.
2. Rumuskan hipotesis Ha dan Ho dalam bentuk statistik.
3. Buat tabel pembantu.
4. Tentukan r
5. Tentukan nilai KP
6. Lakukan uji signifikansi.
7. Tentukan α , dengan derajat bebas db = n − 2 .
8. Tentukan konklusi